*MATERI IDENTITAS TRIGONOMETRI SUDUT RANGKAP*

Agustus 5 , 2021

Pengertian Identitas Trigonometri

Identitas trigonometri merupakan suatu relasi atau kalimat terbuka yang di dalamnya memuat fungsi-fungsi trigonometri. Dimana bernilai benar untuk tiap penggantian variabel dengan konstan anggota domain fungsi. Kebenaran akan suatu relasi atau kalimat terbuka itu sendiri adalah identitas yang harus dibuktikan kebenarannya .

Fungsi trigonometri itu sendiri terdiri atas sin, cos, tan, cosec, sec, serta cotan. Fungsi trigonometri ini bisa digunakan untuk menentukan sisi sebuah segitiga ataupun sudut yang dibentuk dari dua buah sisi yang ada di dalam sebuah segitiga. Aplikasi ilmu trigonometri ini diterapkan dalam bidang astronomi, ekonomi, medical, teknik, geografi, elektronik, dan masih banyak lainnya.

Sebuah segitiga siku-siku secara umum terdiri dari 3 sisi, yakni sisi miring, sisi samping, dan sisi depan. Hal ini juga untuk segitiga dengan bentuk lainnya. Hanya saja, jenis sisi yang ada di bentuk segitiga lainnya tak bisa dibedakan. Diketahui juga bahwa jumlah sudut yang ada di dalam segitiga sebesar 180 derajat. Hal ini terbukti apabila ketiga sudut segitiga disusun secara bersampingan, maka akan membentuk sebuah garis lurus. Seperti yang kita semua ketahui, besar sudut yang ada pada garis lurus ialah 180 derajat. Dengan begitu, terbukti bahwa jumlah ketiga sudut yang ada di dalam sebuah segitiga sebesar 180 derajat .

Pengertian Trigonometri

Trigonometri atau kalau dilihat dari bahasa Yunani yaitu trigonon = “tiga sudut” dan metron = “mengukur” ialah sebuah cabang ilmu matematika yang mempelajari hubungan yang meliputi panjang dan sudut segitiga. Dimana trigonometri ini muncul pada abad ke-3 SM (Sebelum Masehi) di masa hellenistikguna mempelajari tentang astronomi .

Rumus Trigonometri

Perbandingan Trigonometri

Lingkaran dengan pusat O (0, 0) dan jari-jari (r), sedangkan titik A (x, y) pada lingkaran dan sudut dibentuk oleh OA terhadap sumbu X. Pada berlaku r2 = x2 + y2 sehingga diperoleh perbandingan trigonometri, yaitu antara lain sebagai berikut ini :

Macam – Macam Rumus Identitas Trigonometri

1. Rumus Jumlah Dan Selisih Dua Sudut

• Rumus Untuk Cosinus Jumlah Selisih Dua Sudut :

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin

• Rumus Untuk Sinus Jumlah Dan Selisih Dua Sudut :

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B

• Rumus Untuk Tangen Jumlah Dan Selisih Dua Sudut :

tan A (A + B) = tan A + tan B/1 – tan A x tan B
tan A (A – B) = tan A – tan B/1 + tan A x tan B

2 . Rumus Trigonometri Untuk Sudut Rangkap

Dengan Menggunakan Rumus sin (A + B) Untuk A = B :

sin 2A = sin (A + B)
= sin A cos A + cos A sin A
= 2 sin A cos A
Jadi, sin 2A = 2 sin A cos A

• Dengan Menggunakan Rumus cos (A + B) Untuk A = B :

Atau

Cos 2A = cos 2A – sin 2A
= (1 – sin 2A) – sin 2A
= 1 – 2 sin 2A………………(3)

Dari Peramaan (1), (2), (3) diatas didapatkan rumus yaitu :

Cos 2A = cos 2A – sin 2A
= 2 cos 2A – 1
= 1 – 2 sin 2A

Dengan Menggunakan Rumus tan (A + B) Untuk A = B :

tan 2A = tan (A + A)
= tan A + tan A/1 tan A x tan A
= 2 tan A/1 – tan 2A
Jadi, tan 2A = 2 tan A/1 – tan 2A

Contoh Soal Identitas Trigonometri

Contoh Soal :

1.Jika tan 5°= p. Tentukan :

tan 50°

Penyelesaian :

tan 50° = tan (45° + 5°)

= tan 45° + tan 5°/1 – tan 45° x tan 5°

= 1 + p/1 – p

Jadi, hasilnya adalah = 1 + p/1 – p

2. Tentukan lah nilai dari sin 105° + sin 15°

Pembahasan :

Dari soal diatas dapat disimpulkan bahwa jenis soal diatas merupakan contoh soal penjumlahan trigonometri maka kita bisa melihat rumus trigonometri penjumlahan sin pada uraian diatas yaitu rumusnya adalah 2sin ½ (A+B) cos ½ (A-B)

Jawaban :

nilai sin 105° + sin 15° = 2 sin ½ (105+15)°cos ½ (105-15)°
= 2 sin ½ (102)° cos ½ (90)°
= sin 60° cos 45°

Maka nilai dari sin 105° + sin 15° adalah sin 60° cos 45°

*SOAL DAN PEMBAHASAN*

1 . Sederhanakan bentuk trigonometri (1 + cot² β) / (cot β . sec² β).

Pembahasan
Dari pecahan (1 + cot² β) / (cot β . sec² β), sederhanakan masing-masing penyebut dan pembilangnya.
1 + cot² β = cosec² β
⇒ 1 + cot² β = 1/sin² β

cot β . sec² β = (cos β/ sinβ) . sec² β
⇒ cot β . sec² β = (cos β/ sin β).(1/cos² β)
⇒ cot β . sec² β = cos β / sin β.cos² β

Setelah digabung kembali diperoleh :
(1 + cot² β) / (cot β . sec² β) = (1/sin² β) / (cos β / sinβ.cos² β)
⇒ (1 + cot² β) / (cot β . sec² β) = (1/sin² β) . (sin β.cos² β / cos β)
⇒ (1 + cot² β) / (cot β . sec² β) = sin β.cos² β / sin² β.cos β
⇒ (1 + cot² β) / (cot β . sec² β) = cos β / sin β
⇒ (1 + cot² β) / (cot β . sec² β) = cot β

Jadi, (1 + cot² β) / (cot β . sec² β) = cot β.